Matematikkens natur 4/4

I de to foregående artikler så vi eksempler på områder hvor matematikken er fysisk repræsenteret. Vi så at især fysik virker fuldstændig uadskillelig med matematik og matematikken som viser sig meget nyttig i fysiske teorier, ofte går langt forud for eksperimentelle resultater. Selvom matematik til tider beskriver vores verden skræmmende godt, er dette i sig selv ikke noget bevis for matematikken eksisterer uafhængigt af den menneskelige tanke. Som antydet tidligere kan grunden til vi finder matematiske sammenhænge i den fysiske verden, være at matematik blot er menneskers mentale værktøj til at forstå en svært forståelig fysisk verden. Uanset hvor dybe, klare og nødvendige de fysiske repræsentationer af matematik virker på os er de alle sammen observeret med et menneskeligt sind. At bekræfte matematikkens overmenneskelige eksistens ud fra sådanne observationer svarer til at afgøre et termometers målefejl med termometeret selv. Man vil kun kunne bekræfte at termometeret måler rigtigt! Matematik virker dog alligevel til at leve sit eget liv helt udenfor menneskelig kontrol og hvor udviklingen af nye matematiske felter virker helt uforudsigelig.

Nogen gange kan to grene af matematik umiddelbart virke meget fjerne men ved nærmere studie afsløre tætte sammenhænge. Nogen gange kan gamle og velkendte koncepter rumme helt nye og vidtfavnende egenskaber som studiet af en nye teori kaster lys på. Det meste kendte eksempel på dette er beviset af Fermats sidste sætning i 1994 af Andrew Wiles. Den franske matematikker Pierre de Fermat postulerede sætningen i 1634 og påstod at have et smukt bevis, men der ikke var plads i margen af hans Arithmetica. Wiles gjorde store fremskridt indenfor to fjerne og avancerede felter, modulære former og elliptiske kurver. Hans viste en tæt samhørighed mellem disse to felter og med disse fremskridt blev det muligt at bevise sætningen, 360 år efter Fermat første gang postulerede den.

Sætningen siger at hvis a, b, c og n er hele tal, har ligningen ingen løsninger hvis n er større end 2. Det er et særligt kendetegn ved matematik, at et problem, formuleret med simple koncepter (som summen af potenser), kun har en løsning i et meget mere komplekst og avanceret felt. Hvorfor kan studiet af to meget avancerede felter som modulære former og elliptiske kurver kaste lys over så simpelt et problem som Fermats sætning?

For mig personligt er det matematikkens evne til at forgrene sig, gribe ind i sig selv og hele tiden afsløre skjulte og uoplagte sammenhænge, som får den til at virke uafhængig af rum, tid og tanke. Hvordan kan en menneskelig konstruktion rumme så mange skjulte og komplekse sammenhænge?

Hvad har videnskabsteorien af svar?
Indtil videre har jeg forsøgt at male et billede af hvordan vi (jeg) oplever matematikken. Den har nogle meget spøjse, interessante og nyttige egenskaber men hvad er det for en størrelse?

Matematikkens natur har været et filosofisk spørgsmål siden Platons tid omkring 400 F.Kr. De to gennemgående spørgsmål har siden antikken været: ”Eksisterer matematik uafhængigt af den menneskelige tanke?” og ”Hvordan kan vi som mennesker erhverve os matematisk viden”. Disse to spørgsmål omhandler henholdsvis matematikkens ontologi og matematikkens epistemologi (se faktaboks for uddybning).

Tre skoler af matematisk videnskabsteori som har haft stor indflydelse og tilslutning er platonisme, formalisme og intuitionisme.

Platonisme (efter Platon) tillægger sig den holdning at matematiske objekter eksisterer uafhængigt af mennesker, og at matematikeren derfor går på opdagelse i en metafysiske verden når hun udøver matematik. Dette syn betegner man som ontologisk realisme. Platonister hævder også at sandheder om matematiske objekter som tal, trekanter og funktioner, også er uafhængige af mennesker. For Platonister vil sætningen, som siger at vinkelsummen af en trekant er 180 grader, omhandle  et metafysisk objekt og sandhedsværdien af udsagnet vil være fuldstændig objektiv, uafhængig af sted, kultur og matematiker. For en Platonist findes der derfor endnu ukendte sandheder at blive opdaget. Det syn bliver betegnet som epistemologisk realisme. Matematikere tilslutter sig ofte dette syn; måske fordi det passer godt med hvordan de oplever deres arbejde. Selv om Platonisme forklarer matematikkens evne til at forgrene sig uforudsigeligt, samt hvorfor Euclids elementer stadig gælder i dag, er der nogle helt klare filosofiske problemer. Hvordan kan vi som mennesker, som lever i den fysiske verden, opnå viden om objekter fra en metafysisk verden. Dette spørgsmål er svært at besvare indenfor Plantonisternes filosofi uden at ty til tvivlsomme koncepter som ”en 6. matematisk sans”.

Intuitionisterne mener at matematik er menneskers måde at forstå den fysiske verden på. Vi ser et rundt himmellegeme, for eksempel, og vores sind omdanner den til en perfekt matematisk cirkel. Vores menneskelige hjerne skaber altså de matematiske objekter og det er kun i vores hjerne de eksisterer. For intuitionister afgøres sandhedsværdien af en matematisk sætning rent intuitivt, det vil sige snarere af konstruerede end objektive sandhedskriterier. På dette grundlag forkaster de klassisk logik. En af de tre fundamentale love i klassisk logik er ”Loven om ekskluderet midte”, som siger at et udsagn kun kan være sandt eller falsk. I et forsøg på at sætte intuitionismen på lige fod med andre videnskabsteoretiske retninger skabte intuitionisten Arend Heyting i 1930 intuitionistisk logik. Heyting var selv skeptisk overfor et formelt system for at afgøre sandhedsværdi, men dette nye logiske system gjorde det muligt at sammenligne intuitionistisk matematik med klassisk matematik. Intuisionistisk logik forkaster loven om om ekskluderet midte på baggrund af matematikkens konstrueret natur.

Hvis man for eksempel skal vise at et tal x er rationelt, ville en klassisk logikker gøre brug af loven om ekskluderet midte og antage at tallet enten er rationelt eller irrationelt. Det vil sige at foreningen af de rationelle og irrationelle tal er den fuldendte mængde af alle tal, der er, med andre ord, ingen ekskluderet midte. Den klassiske logikker kunne gøre brug af et indirekte bevis, ved først at antage at tallet var irrationelt og så udlede en modstrid. På denne måde har den klassiske logikker vist at tallet er rationelt. Intuitionisten forkaster brugen af indirekte beviser, for ham er mængden af rationelle og irrationelle tal ikke nødvendigvis en universel helhed. Intuitionisten skal konstruerer en brøk som udtrykker tallet før han kan vise at tallet er rationelt.   

Et andet princip hvor intuitionistisk matematik afviger fra klassisk matematik er omkring brugen af imprædikative definitioner. En definition kaldes imprædikativ hvis den henviser til en samling af objekter, som det defineret objekt selv er en del af . En imprædikativ definition kunne være ”Den mindste øvre grænse”, fordi den henviser til den mindste af en hel samling af øvre grænser. Intuitionisterne forkaster tanken om en statisk mængde af uendelig størrelse som mængden af alle øvre grænser. For dem findes kun det potentielt uendelige. Man kan altså ikke konstruerer et matematisk objekt ved at henvise til en mængde som allerede indeholder objektet, en sådan definition er cirkulær for intuitionisterne. For en platonist eksisterer alle de øvre grænser uafhængigt af definitionen. Definitionen volder ingen problemer da den blot peger på den mindste af de øvre grænser. For intuitionisten eksisterer de øvre grænser først idet de bliver konstrueret, det giver derfor ingen mening at betragte alle øvre grænser da vi umuligt kan konstruerer alle øvre grænser.

De to synspunkter nævnt ovenfor, forkastelsen af loven om ekskluderet midte og forkastelsen af imprædikative definitioner, medfører at intuitionisterne mener klassisk matematik skal revideres. Problemet er at disse to principper er dybt forskanset i den nutidige matematik. Størstedelen af nutidig matematik vil altså ifølge intuitionisterne være ugyldig, dette er ikke særlig attraktivt set fra matematikkernes synspunkt og gør at denne filosofiske skole er svær at forene mainstream matematisk praksis.

Formalisterne går skridtet videre hvad angår konstruktioner. En formalist ser matematik som blot manipulation af symboler ud fra nogle arbitrært formulerede regler. For en formalist er det ikke et spørgsmål om hvor de matematiske objekter eksisterer henne, de eksisterer simpelthen ikke. Et problem med formalisme er karakteriseringen af disse symboler, som ikke er helt klar. Hvis man definerer symbolerne som værende de områder af tryksvært i en matematikbog eller blyant på et stykke papir er problemet  at ingen af disse symboler vil være helt ens. Nogen hævder at tryksværten blot er en repræsentation af et ”rent symbol”. Men hvis disse rene symboler ikke eksisterer på papir hvor eksisterer de så henne? Man kan nemt havne i en forklaring som ligner platonisternes karakterisering af matematiske objekter for disse rene symboler.

Et vigtigt punkt for formalisterne er at alt matematisk teori er baseret på sine aksiomer. David Hilbert forsøgte at formaliserer matematik ved at formulerer et konsistent (ikke selvmodsigende) aksiomsystemer for hele matematikken. Programmet led dog et fatalt nederlag da Kurt Gödel i 1931 viste man ikke kan bevise et aksiomatisk systems konsistens indenfor systemet selv.

Og hvad så?
Når man som økonom formulerer en model er der mange potentielle fejlkilder. De bombastiske antagelser så som rationelle agenter, alvidende agenter, perfekte markeder, bliver tit udpeget som de største syndere. Hertil kommer de statistiske antagelser og usikkerheder. Det sidste man nogensinde ville angribe i en model var matematikken selv. Den anser man jo som værende evig gyldig og sand. Jeg tør ikke anfægte hele matematikkens sandhedsværdi her. Men to og et halvt årtusinds diskussion blandt filosoffer uden nogen klar konsensus, antyder at matematikkens natur er langt svære at forstå end det umiddelbart virker.  

Jeg tror næppe hele den videnskabelige verden bliver taget ved næsen og hele matematikken pludselig viser sig at være falsk. Men når store intuisionistiske tænkere som L. E. J. Brouwer antyder at klassisk matematik skal revideres er der grund til at være på vagt. Når vi som økonomer sætter så stor lid til en videnskab, synes jeg det er vigtigt at tænke over hvad det er for en størrelse vi har med at gøre. Når selv det tilsyneladende helt sikre element i vores videnskab har en ubestemmelig natur, må det give anledning til endnu mere skepsis overfor resten af økonomisk videnskab.