Moder natur som matematiker 2/4

Man behøver ikke studerer avanceret fysik for at finde bekræftende eksempler på Galileo udsagn. Fra gymnasiet kender man den logaritmiske spiral (se faktaboks) som man finder i sneglehuse. Den logaritmiske spiral finder man mange andre steder i naturen, insekters bane rundt om en el-pærer, armene i Mælkevejen og tropiske cykloner har alle approksimativ form som en logaritmisk spiral. I mere avanceret fysik, som kvantemekanik, er matematikken så dybt indlejret i teorien at det er svært at forestille sig en teori uden de matematiske resultater  som tit går forud for de eksperimentelle. Nobelprismodtageren i fysik fra 1979, Steven Weinberg, formulerer det i 1986 på denne måde: "It is positievly spooky how the physicist finds the mathematician has been there before him or her." Weinberg fik nobelprisen for at formulerer en matematisk model som både indeholder den svage kernekraft og det elektromagnetisk sammenspil mellem elementarpartikler. Hans model forudså eksistensen af en elementarpartikel ved navn Z-boson og var et vigtigt bidrag til Standardmodellen som i dag er det nærmeste man har en fuldstændig model for elementarpartiklers opførelse. Z-bosonen blev eksperimentelt opdaget i 1973 og var en, blandt andre, bekræftelser af Weinbergs model.

Standardmodellens 16 elementarpartikler.

Selvom resultaterne fra fysik er spændende kan de ofte virke højtflyvende og udenfor rækkevide for en ikke-fysiker. Personligt synes jeg de mest interessante sammenhænge er de simpleste, især dem som kan udtrykkes ved et enkelt tal. Tre tal som har en del mystik omkring sig er pi (3,14...), phi (1,618...) og Eulers konstant e (2,7183...). Når en fysisk sammenhænge kan udtrykkes blot ved et enkelt tal virker den på mig som værende stærkere. Når tallet oven i købet har rødder i matematik virker sammenhængen næsten transcendental, som om den matematiske verden udgør en usynlig del af den fysiske.

Pi er, som bekendt, det irrationelle tal som netop er forholdet mellem omkreds og diameter i en cirkel. Udover i cirklens geometri optræder pi flere steder i matematisk teori, for eksempel indgår pi i funktionen som beskriver normalfordelingens klokkeformet kurve. "Hvorfor!?", kunne man spørge. En geolog ved navn Hans-Henrik Stølum fandt en interessant sammenhæng ved opmåling af floder. Det viser sig at forholdet mellem længden af et flodløb og afstanden fra udspring til udløb approksimerer pi ret godt. Det viser sig ydermere at jo mindre hældning langs flodløbet jo tættere på pi er dette forhold. Einstein formulerede en teori omkring floders erotion og udbredelse i medier. Denne teori var den første til at foreslå pi som størrelsesforholdet for floder. Men hvorfor netop pi?

Phi eller Det Gyldne Snit er et andet interessant tal med sine rødder i geometrien. Phi er det størrelsesforhold mellem to linjestykker a og b som sikrer at det samme størrelsesforhold gælder mellem det samlede linjestykke (a+b) og det lange linjestykke (a).

Det vil sige at phi er det unikke tal som løser ligningen

Phi siges at optræde mange steder i naturen for eksempel i menneskekroppen. Nogen hævder at hel række størrelsesforhold i menneskekroppen approksimerer phi. Forholdet mellem højde og navlens højde, forholdet mellem underarmens længde og længden fra fingerspids til albue, forholdet mellem ansigtet højde og bredde skulle, blandt mange andre størrelsesforhold, tilnærme phi.

I plantevækst skulle det gyldne snit angiveligt også optræde. En model for positionen af solsikkers floretter (de små blomsterskud i midten af blomsten) benytter sig af den gyldne vinkel.

 

Billed af blomsten Farve-Gåseurt og den gyldne vinkel

Den gylnde vinkel er ca 137,51 grader og er den irrationelle vinkel som sikrer at forholdet mellem hele omkredsen og den blå cirkelbue er det samme som forholdet mellem den blå cirkelbue og den røde. I solsikker og i farve-gåseurt, som man ser på billedet, er vinklen mellem på hinanden følgende floretter meget tæt på den gyldne vinkel. Positionen af floretterne følger en Fermatspiral og antallet af højredrejet kontra venstredrejet spiraler er meget ofte to Fibonacci-nabotal (se faktaboks). På billedet er der 21 venstredrejet og 13 højredrejet spiraller. 13 og 21 følger som bekendt hinanden i Fibonacci-rækken. For at tilføre yderligere mystik til hele historien så har forholdet mellem to Fibonacci-naboer phi som grænseværdi. Det vil sig jo længere man går ud i Fibonacci-rækken og dividerer to naboer med hinanden desto tættere kommer man på det gyldne snit.

e’s opdagelse/konstruktion (alt efter hvilken filosofisk skole man tilhører) er krediteret til Jacob Bernoulli i slutningen 1600-tallet som i øvrigt brugte b som symbol for tallet. Bernoulli undersøgte rentes rente problemet. Han lavede følgende tankeksperiment; hvis man forrenter 1 kr. med 100% i rente en enkelt gang får man 2 kr. (han brugt sandsynligvis ikke kroner men lad os bare antage det for hyggens skyld) Forrenter man 1 kr. fire gange om året med 25% hver gang får man 2,4414 kr. Foretager man samme operation otte gange med 12,5% får man 2,5658 kr. Gentager man eksperimentet 5600 gange med en rente svarende til 100%/5600 får man 2,7180. Bernoulli viste at der er en øvre grænse for denne forrentning og denne grænse er netop e. Herfra stammer formlen for kontinuert forrentning som Mogens Nøregaard nyder at underholde med på første semester.

Den naturlige eksponentialfunktion er eksponentialfunktionen med e som grundtal. Den naturlige eksponentialfunktion bruges meget ofte til at modellere vækst i alle mulige former. Fra bakterievækst til befolkningsvækst er den naturlige eksponentialfunktion en rigtig god approksimation. Også radioaktivt henfald beskrives godt af den naturlige eksponentialfunktion. Grunden til dette ligger i funktionen helt unikke vækstegenskaber, den naturlige eksponentialfunktion er den eneste funktion hvis vækstrate er direkte proportional med funktionsværdien (se faktaboks). Jeg synes det er bemærkelsesværdigt at der kun findes en funktion en sådan egenskab. 

Denne egenskab gør den særdeles god til at beskrive vækst som er proportional med populationsstørrelsen det vil sig stort set alt vækst populationsvækst fra mennesker til dyr til bakterier. I den virkelige verden kan populationsvækst ikke fortsætte i det uendelige (og dog) og vækstraten er sjældent konstant over tid. Den naturlige eksponentialfunktion må derfor lade vejen for mere komplicerede modeller. Bakterievækst under kontrollerede forhold ved konstant temperatur tilnærmes dog særdeles godt af den naturlige eksponentialfunktion som man ser på nedenstående figur.

 

Jeg finder de tre irrationelle tal beskrevet ovenfor svære nok at forstå i sig selv. Hvad er et irrationelt tal? Jeg kan lidt behændigt undvige spørgsmålet ved at sige hvad det ikke er. Det er ikke et helt tal, det er ikke en brøk, det må være alt det som ligger mellem brøkerne og de hele tal på den reelle tallinje. Dette giver dog ikke en håndgribelig og dyb forståelse af hvad irrationelle tal er, slet ikke den dybe forståelse jeg har af tallet 3 eller tallet ½. Jeg kan tælle tre genstande og jeg kan drikke en halv liter mælk. For mig er konceptet om irrationelle tal, rent forståelsesmæssigt, nært beslægtet med begrebet uendelig. Mellem to hele tal, for eksempel 1 og 2, er der uendelig mange rationelle tal. Denne type uendelighed er dog mere betryggende end den uendelige mængde af irrationelle tal som også findes mellem 1 og 2. Jeg kan i princippet skrive alle de rationelle tal mellem 1 og 2 ned. Det giver mig en form for sindsro. De irrationelle derimod kan jeg ikke umiddelbart skrive ned. Der er en sætning som siger at jeg kan approksimerer ethvert irrationelt tal med et rationelt, men det giver på en måde ikke den samme sindsro. Kontinuitet, et begreb man kaster om sig i flæng, er et udtryk for denne meget svært begribelige uendelige tæthed som den reele talakse besidder.

Det er som om moder natur har en implicit forståelse af de irrationelle tal og kontinuitet, som vi mennesker ikke har. Som om naturens byggesten er objekter vi ikke har nogen intuitiv forståelse af, men som vi kun kan abstraherer os til gennem matematik. Med dette syn bliver matematikkens rolle som videnskabeligt forstørrelsesglas meget tydelig. Det besvarer dog ikke spørgsmålet om hvorvidt matematikken blot er menneskers måde at systematiserer og forstå en kompleks fysisk verden eller om matematikkens succes i fysik kommer af den faktisk eksisterer indlejret i det fysiske univers. Tanken om matematik som en transcendental lov som styrer de fysiske elementer, men stadig kan begribes og studeres i det menneskelige sind, har en underlig religiøs klang. Det er spøjst at tanker om matematik, som på overfladen virker som en helt steril videnskab med helt klare kriterier for sandt og falsk, kan udfolde sig til nærmest religiøse/eksistensielle spørgsmål. Dette ser jeg som et vidnesbyrd om matematikkens natur ikke er en triviel størrelse. Spørgsmål om matematikkens grundlæggende natur og eksistens kan ikke blot fejes af banen med udsagn som ”matematik er bare et sindrigt menneskeskabt system”. Uanset hvor meget man gerne vil pakke matematikken pænt sammen og putte ned i ”menneskelig konstruktion”-kassen har den fangearme som bliver ved med at stritte ud til alle sidder.

I den næste artikel ser vi på matematik i menneskelig adfærd og vi ser eksempler på matematiske opdagelser og matematisk intuition som er uafhængig af tid, sted, kultur og matematikker.