Fraktal, fraktal, fraktal... 3/4

En fraktal (af latin fractus som betyder brækket eller knust) er et matematisk objekt som har egenskaben at være selv-similær. En kurve siges at være en fraktal hvis den er sammensat af mindre stykker af sig selv. Fraktaler udspringer af studiet af kurver som har den kontraintuitive egenskab at være kontinuerte men ingen steder differentiable. Nedenfor ses animationen af et Koch-snefnug hvis funktion blev beskrevet geometrisk af Helge von Koch i 1907.

Man ser at kurven er sammensat af mindre stykker af den oprindelige figur. Når iterationerne går mod uendelig går kurvens længde også mod uendelig men arealet har en øvre grænse. Hvis man forestiller sig at zoome ind vil man altid finde den oprindelige figur i mindre og mindre størrelse.

I forrige artiklen nævnte jeg forskellige størrelsesforhold i menneskekroppen og hos dyr som påstås at tilnærme Det Gyldne Snit eller phi (1,618…). Der er dog ikke enighed om hvorvidt disse sammenhænge gælder. Det påstås ofte fejlagtigt at den logaritmiske spiral man finder i sneglehuse er en gylden spiral, det vil sige en spiral hvis vækstrate af radius er præcis phi. Tallet phi siges også at have en særlig sammenhæng med skønhed. Man har foretaget studier hvor man undersøger om ansigter med gyldne proportioner opfattes særligt smukke. Forsøg på at efterprøve disse studier har været uden klart resultat. En meget udbredt teknik blandt valutahandlere, som har tæt relation til tallet phi, er ”Fibonacci retracement”. Denne teknik går ud på at identificerer en top og en bund for en kurs over et kort tidsrum, for eksempel et par dage. Dette spænd inddeler man efter fibonacci-rækken (se faktaboks for forklaring). Disse niveauer identificeres som ”support” og ”resistance” niveau, det vil sige niveauer hvor kursen har større sandsynlighed for skifte retning ved henholdsvis fald og stigning. Falder kursen og rammer et support-niveau skulle kursen angiveligt have større sandsynlighed for at stoppe sit fald og stige igen. Selvom denne teknik er meget udbredt blandt valutahandlere er der ikke nogen akademiske papirer (som jeg kunne finde) som har undersøgt validiteten af disse Fibonacci-niveauer. Man kan også forestille sig at der er noget selvopfyldende profeti over denne handelsteknik. Som mennesker er vi meget dygtige til at finde mønstre og sammenhænge i vores omgivelser, men det er vigtigt at være varsom. Selv om matematikken har stor forklaringskraft med hensyn til den fysiske verden skal man ikke lade sig rive med og se sammenhænge hvor der ingen er. Michael Shermer giver en interessant TED-TALK om menneskers evne til at finde mønstre alle vegne. 

Det er en noget højtflyvende tanke at lade hele naturen, valutakurser og menneskekroppen være styret af et enkelt tal. Det virker til at være meget at forlange. Jeg stiller mig derfor skeptisk overfor postulater om tal med universelle egenskaber i den fysiske verden. Men uanset hvor spektisk et syn man vedkender sig er det svært benægte de observationer der findes fra den fysiske verden som er nært beslægtede med matematiske størrelser og objekter.

Long Term Capital Manegment (LTCM) er den meget kendte hedgefond som blev startet i Conneticut i 1993. LTCM, med de to nobelprismodtagere i økonomi Myron Scholes og Robert C. Merton som medstiftere, blev kendt for at bruge meget avancerede statistiske og teoretiske metoder, samt at have en meget høj gearing. Efter nogle meget succesfulde år blev LTCM allerede i 1998 likvideret efter et tab på 4,6 mia dollars og en finansielle redning af Federal Reserve Bank i New York. Man kan sige at LTCM’s fald og den finansielle krise for den sags skyld, er konsekvenser af vores manglende evne til at se matematikkens begrænsninger. Det er faren ved at observerer matematiske sammenhænge. Man kan nemt blive helt opslugt af de emperiske sammenhænges tilfredstillende bekræftelser af teorien, at man lader de (tilsyneladende) eviggyldige matematiske sandheder tage pladsen for de omskiftelige og ambivalente sandheder som gælder i samfundet.

Efter Myron Scholes og Robert C. Merton nederlag på de finansielle markeder, fik de i 1997 nobelprisen for den beømte Black-Scholes model som modellerer prisen på aktieoptioner ganske godt. Deres model bruger en stokastisk proces ved navn brownsk bevægelse (Brownian motion) for at modellerer aktieprisens tilfældige natur. Denne stokastiske model stammer fra fysik hvor den blandt andet modellere den tilfældige måde hvorpå to væsker blandes. Nedenfor ser man en enkelt realisation af brownsk bevægelse. 

En brownsk bevægelse er en stokastisk fraktal. Kurven er kontinuert og zoomer man ind på et givent punkt har det nye udsnit samme statistiske egenskaber som hele processen. Processen siges at være statistisk selv-similær. På animationen ovenfor zoomer man længere og længere ind på kurven og man genkender samme struktur. Også kystlinjer og bjerge kan beskrives af stokastiske fraktaler, naturen i det hele taget har mange eksempler på fraktalstruktur.

Ovenfor ser man en animation af de første otte skridt i en fraktallignende struktur. Diagrammet til venstre skal modellerer en iskrystal og starter med en form. Denne form bliver dernæst skalerer og reproduceret i de to arme længst til højre. Det samme sker i næste skridt hvor der nu er fire arme og processen fortsætter. Meget naturlig vækst har en sådan selv-similær egenskab især i plantevækst er den tydelig. Den logaritmiske spiral i sneglehuse er også en fraktal, zoomer man ind mod centrum gælder præcis samme størrelsesforhold. Det er som om det er naturens måde at organiserer sig på.

Et andet godt eksempel på fraktalstruktur i den menneskelige adfærd er afdækket af den amerikanske matematiker Ron Eglash. Ron Eglash opdagede en fraktalstruktur på luftbilleder af afrikanske landsbyer og rejste i Afrika i 80'erne for at afdække fænomenet. Nedenfor er der et billede af landsbyen Ba-ila i det sydlige Zambia.

Ron Eglash lavede en model til at prøve at genskabe mønsteret i de afrikanske landsbyer.

Her er Eglashes simulation af Ba-ila landsbyen efter tre iterationer. Den oprindelige figur bliver genskabt på hver linjestykke og skaleret efter længden på det pågældende linjestykke. Fraktalstrukturen i Ba-ila er slående. Teorien omkring fraktalgeometri blev først rigtig udviklet i 1980'erne med stort bidrag fra franskmanden Benoit Mandelbrot, så at finde avanceret fraktalgeometri i afrikanske landsbyer er ret bemærkelsesværdigt. 

Fraktallignende strukturer finder man åbenbart mange steder i den fysiske verden. I økonomi, hvor den stokastiske fraktal optræder helt utilsigtet som et produkt af handel med værdipapirer. I plantevæskt og iskrystaler, som produkt af naturlig vækst. I afrikanske landsbyer hvor strukturen er et helt bevidst arkitektonisk valg. Om dette er et vidnesbyrd om et særlig mangfoldigt matematisk objekt eller en særlig egenskab ved naturen vil jeg ikke gøre mig til dommer for, men observationerne synes jeg i sig selv er ret interesante.

Fraktalstrukturen i afrikanske landsbyer er bare et eksempel på matematiske opdagelser som er gjort på tværs af geografi, kultur og tid. Srinivasa Ramanujan var en fattig inder med et enormt matematisk talent som levede i starten af 19-hundredtallet. Uden nogen matematisk undervisning og med nogle få bøger om trigonometri genopdagede han allerede som 12-årig store sætninger som Eulers identitet (se faktaboks).

Man kunne konkludere at matematik er en særlig egenskab ved den menneskelige hjerne. En form for tanker alle mennesker rummer og de matematiske opdagelser derfor på en måde ligger skjult i vores hjerner. Men hvordan kan de matematiske opdagelser vi gør være fuldstændig ens på tværs af tid og sted? Eulers identitet var jo præcis den samme for Euler som den var for Ramanujan, som ikke kendte til sætningen inden han på egen hånd genopdagede den. Hvis matematik er en egenskab ved den menneskelig hjerne, hvorfor er matematikken ikke lige så forskellig som vi mennesker er? Hvad gør at matematikken som blev praktiseret af Euclid 300 f.Kr. stadig, med meget få undtagelser, er helt gyldig i dag? Ingen anden videnskab har gennem så lang tid kunne bibeholde den samme metode samt sandhedsværdien af de tidligste resultater.