Matematikkens natur 4/4

Megen lid bliver sat til matematiske resultater, men kan vi overhovedet stole på så mystisk en videnskab? Eller værre endnu... kan vi overhovedet afgøre om matematik er til at stole på?

Megen lid bliver sat til matematiske resultater, men kan vi overhovedet stole på så mystisk en videnskab? Eller værre endnu... kan vi overhovedet afgøre om matematik er til at stole på?

I de to foregående artikler så vi eksempler på områder hvor matematikken er fysisk repræsenteret. Vi så at især fysik virker fuldstændig uadskillelig med matematik og matematikken som viser sig meget nyttig i fysiske teorier, ofte går langt forud for eksperimentelle resultater. Selvom matematik til tider beskriver vores verden skræmmende godt, er dette i sig selv ikke noget bevis for matematikken eksisterer uafhængigt af den menneskelige tanke. Som antydet tidligere kan grunden til vi finder matematiske sammenhænge i den fysiske verden, være at matematik blot er menneskers mentale værktøj til at forstå en svært forståelig fysisk verden. Uanset hvor dybe, klare og nødvendige de fysiske repræsentationer af matematik virker på os er de alle sammen observeret med et menneskeligt sind. At bekræfte matematikkens overmenneskelige eksistens ud fra sådanne observationer svarer til at afgøre et termometers målefejl med termometeret selv. Man vil kun kunne bekræfte at termometeret måler rigtigt! Matematik virker dog alligevel til at leve sit eget liv helt udenfor menneskelig kontrol og hvor udviklingen af nye matematiske felter virker helt uforudsigelig.

Nogen gange kan to grene af matematik umiddelbart virke meget fjerne men ved nærmere studie afsløre tætte sammenhænge. Nogen gange kan gamle og velkendte koncepter rumme helt nye og vidtfavnende egenskaber som studiet af en nye teori kaster lys på. Det meste kendte eksempel på dette er beviset af Fermats sidste sætning i 1994 af Andrew Wiles. Den franske matematikker Pierre de Fermat postulerede sætningen i 1634 og påstod at have et smukt bevis, men der ikke var plads i margen af hans Arithmetica. Wiles gjorde store fremskridt indenfor to fjerne og avancerede felter, modulære former og elliptiske kurver. Hans viste en tæt samhørighed mellem disse to felter og med disse fremskridt blev det muligt at bevise sætningen, 360 år efter Fermat første gang postulerede den.

Sætningen siger at hvis a, b, c og n er hele tal, har ligningen ingen løsninger hvis n er større end 2. Det er et særligt kendetegn ved matematik, at et problem, formuleret med simple koncepter (som summen af potenser), kun har en løsning i et meget mere komplekst og avanceret felt. Hvorfor kan studiet af to meget avancerede felter som modulære former og elliptiske kurver kaste lys over så simpelt et problem som Fermats sætning?

For mig personligt er det matematikkens evne til at forgrene sig, gribe ind i sig selv og hele tiden afsløre skjulte og uoplagte sammenhænge, som får den til at virke uafhængig af rum, tid og tanke. Hvordan kan en menneskelig konstruktion rumme så mange skjulte og komplekse sammenhænge?

Hvad har videnskabsteorien af svar?
Indtil videre har jeg forsøgt at male et billede af hvordan vi (jeg) oplever matematikken. Den har nogle meget spøjse, interessante og nyttige egenskaber men hvad er det for en størrelse?

Matematikkens natur har været et filosofisk spørgsmål siden Platons tid omkring 400 F.Kr. De to gennemgående spørgsmål har siden antikken været: ”Eksisterer matematik uafhængigt af den menneskelige tanke?” og ”Hvordan kan vi som mennesker erhverve os matematisk viden”. Disse to spørgsmål omhandler henholdsvis matematikkens ontologi og matematikkens epistemologi (se faktaboks for uddybning).

Tre skoler af matematisk videnskabsteori som har haft stor indflydelse og tilslutning er platonisme, formalisme og intuitionisme.

Platonisme (efter Platon) tillægger sig den holdning at matematiske objekter eksisterer uafhængigt af mennesker, og at matematikeren derfor går på opdagelse i en metafysiske verden når hun udøver matematik. Dette syn betegner man som ontologisk realisme. Platonister hævder også at sandheder om matematiske objekter som tal, trekanter og funktioner, også er uafhængige af mennesker. For Platonister vil sætningen, som siger at vinkelsummen af en trekant er 180 grader, omhandle  et metafysisk objekt og sandhedsværdien af udsagnet vil være fuldstændig objektiv, uafhængig af sted, kultur og matematiker. For en Platonist findes der derfor endnu ukendte sandheder at blive opdaget. Det syn bliver betegnet som epistemologisk realisme. Matematikere tilslutter sig ofte dette syn; måske fordi det passer godt med hvordan de oplever deres arbejde. Selv om Platonisme forklarer matematikkens evne til at forgrene sig uforudsigeligt, samt hvorfor Euclids elementer stadig gælder i dag, er der nogle helt klare filosofiske problemer. Hvordan kan vi som mennesker, som lever i den fysiske verden, opnå viden om objekter fra en metafysisk verden. Dette spørgsmål er svært at besvare indenfor Plantonisternes filosofi uden at ty til tvivlsomme koncepter som ”en 6. matematisk sans”.

Intuitionisterne mener at matematik er menneskers måde at forstå den fysiske verden på. Vi ser et rundt himmellegeme, for eksempel, og vores sind omdanner den til en perfekt matematisk cirkel. Vores menneskelige hjerne skaber altså de matematiske objekter og det er kun i vores hjerne de eksisterer. For intuitionister afgøres sandhedsværdien af en matematisk sætning rent intuitivt, det vil sige snarere af konstruerede end objektive sandhedskriterier. På dette grundlag forkaster de klassisk logik. En af de tre fundamentale love i klassisk logik er ”Loven om ekskluderet midte”, som siger at et udsagn kun kan være sandt eller falsk. I et forsøg på at sætte intuitionismen på lige fod med andre videnskabsteoretiske retninger skabte intuitionisten Arend Heyting i 1930 intuitionistisk logik. Heyting var selv skeptisk overfor et formelt system for at afgøre sandhedsværdi, men dette nye logiske system gjorde det muligt at sammenligne intuitionistisk matematik med klassisk matematik. Intuisionistisk logik forkaster loven om om ekskluderet midte på baggrund af matematikkens konstrueret natur.

Hvis man for eksempel skal vise at et tal x er rationelt, ville en klassisk logikker gøre brug af loven om ekskluderet midte og antage at tallet enten er rationelt eller irrationelt. Det vil sige at foreningen af de rationelle og irrationelle tal er den fuldendte mængde af alle tal, der er, med andre ord, ingen ekskluderet midte. Den klassiske logikker kunne gøre brug af et indirekte bevis, ved først at antage at tallet var irrationelt og så udlede en modstrid. På denne måde har den klassiske logikker vist at tallet er rationelt. Intuitionisten forkaster brugen af indirekte beviser, for ham er mængden af rationelle og irrationelle tal ikke nødvendigvis en universel helhed. Intuitionisten skal konstruerer en brøk som udtrykker tallet før han kan vise at tallet er rationelt.   

Et andet princip hvor intuitionistisk matematik afviger fra klassisk matematik er omkring brugen af imprædikative definitioner. En definition kaldes imprædikativ hvis den henviser til en samling af objekter, som det defineret objekt selv er en del af . En imprædikativ definition kunne være ”Den mindste øvre grænse”, fordi den henviser til den mindste af en hel samling af øvre grænser. Intuitionisterne forkaster tanken om en statisk mængde af uendelig størrelse som mængden af alle øvre grænser. For dem findes kun det potentielt uendelige. Man kan altså ikke konstruerer et matematisk objekt ved at henvise til en mængde som allerede indeholder objektet, en sådan definition er cirkulær for intuitionisterne. For en platonist eksisterer alle de øvre grænser uafhængigt af definitionen. Definitionen volder ingen problemer da den blot peger på den mindste af de øvre grænser. For intuitionisten eksisterer de øvre grænser først idet de bliver konstrueret, det giver derfor ingen mening at betragte alle øvre grænser da vi umuligt kan konstruerer alle øvre grænser.

De to synspunkter nævnt ovenfor, forkastelsen af loven om ekskluderet midte og forkastelsen af imprædikative definitioner, medfører at intuitionisterne mener klassisk matematik skal revideres. Problemet er at disse to principper er dybt forskanset i den nutidige matematik. Størstedelen af nutidig matematik vil altså ifølge intuitionisterne være ugyldig, dette er ikke særlig attraktivt set fra matematikkernes synspunkt og gør at denne filosofiske skole er svær at forene mainstream matematisk praksis.

Formalisterne går skridtet videre hvad angår konstruktioner. En formalist ser matematik som blot manipulation af symboler ud fra nogle arbitrært formulerede regler. For en formalist er det ikke et spørgsmål om hvor de matematiske objekter eksisterer henne, de eksisterer simpelthen ikke. Et problem med formalisme er karakteriseringen af disse symboler, som ikke er helt klar. Hvis man definerer symbolerne som værende de områder af tryksvært i en matematikbog eller blyant på et stykke papir er problemet  at ingen af disse symboler vil være helt ens. Nogen hævder at tryksværten blot er en repræsentation af et ”rent symbol”. Men hvis disse rene symboler ikke eksisterer på papir hvor eksisterer de så henne? Man kan nemt havne i en forklaring som ligner platonisternes karakterisering af matematiske objekter for disse rene symboler.

Et vigtigt punkt for formalisterne er at alt matematisk teori er baseret på sine aksiomer. David Hilbert forsøgte at formaliserer matematik ved at formulerer et konsistent (ikke selvmodsigende) aksiomsystemer for hele matematikken. Programmet led dog et fatalt nederlag da Kurt Gödel i 1931 viste man ikke kan bevise et aksiomatisk systems konsistens indenfor systemet selv.

Og hvad så?
Når man som økonom formulerer en model er der mange potentielle fejlkilder. De bombastiske antagelser så som rationelle agenter, alvidende agenter, perfekte markeder, bliver tit udpeget som de største syndere. Hertil kommer de statistiske antagelser og usikkerheder. Det sidste man nogensinde ville angribe i en model var matematikken selv. Den anser man jo som værende evig gyldig og sand. Jeg tør ikke anfægte hele matematikkens sandhedsværdi her. Men to og et halvt årtusinds diskussion blandt filosoffer uden nogen klar konsensus, antyder at matematikkens natur er langt svære at forstå end det umiddelbart virker.  

Jeg tror næppe hele den videnskabelige verden bliver taget ved næsen og hele matematikken pludselig viser sig at være falsk. Men når store intuisionistiske tænkere som L. E. J. Brouwer antyder at klassisk matematik skal revideres er der grund til at være på vagt. Når vi som økonomer sætter så stor lid til en videnskab, synes jeg det er vigtigt at tænke over hvad det er for en størrelse vi har med at gøre. Når selv det tilsyneladende helt sikre element i vores videnskab har en ubestemmelig natur, må det give anledning til endnu mere skepsis overfor resten af økonomisk videnskab.

    Kommentarer

  • Jeg er ikke helt enig med din konklusion om, at "økonomer sætter stor lid til matematikken". Dygtige økonomer vil altid sætte sig udover matematikken. Mærkværdige resultater, der virker knap så intuitive, bliver ikke mere rigtige af, at man har formuleret det i matematik. Økonomi var oprindeligt en samfundsvidenskab af verbal karakter og jeg tror, at tendensen er, at man ønsker, at det intuitive skal endnu tydeligere frem og at man udelukkende bruger matematikken til at gøre sin intuition skarp og konsistent, især efter den her finanskrise.

    For mig at se er matematik-teori ganske spændende, inkl. dine indlæg her, men det er ikke særligt væsentligt for det meste økonomi. Det største problem ligger i, hvis man glemmer, at økonomi handler om interaktion mellem mennesker og udgangspunktet derfor skal være, hvordan mennesker rent faktisk agerer.

    8 år siden

  • Adam: Selvfølgelig er økonomi samfundsvidenskabeligt. Men jeg er stadig enig med Christian: Matematik er det bedste sprog vi økonomer har til at udtrykke vores ideer.

    For at blive en dygtig (teoretisk) økonom kræver det ofte en meget stor færdighed inden for teoretisk matematik. Som minimum at man har stiftet bekendskab med analyse, lineær algebra, statistik og sandsynlighedsteori. Selv hvis man ikke skal forske men gerne vil studere økonomisk litteratur på et højere niveau end bachelor-uddannelsen kræver det meget matematik.

    Læs evt. hvad Mankiw skriver om emnet: http://gregmankiw.blogspot.com/2006/09/why-aspiring-economists-need-math.html

    PS: Fantastisk artikel Duffe, det har været en fornøjelse at læse ;)

    8 år siden

  • @ Mikael; Først er og fremmest er jeg glad for du synes indlængene er spændende!

    Jeg er enig i at substansen i økonomisk teori er ret uafhængig af matematisk teori. Økonomi er, for mig, i bund og grund et studie af menneskelig adfærd.

    Men som du og Adam også siger har matematik vist sig at være et meget nyttige værktøj i økonomers søgen efter viden. Så matematik er blevet en meget vigtig del af økonomi. Vi kan derfor ikke ignorer matematikkens videnskabelige status når vi studerer og bruger økonomisk videnskab. Jeg mener også at matematiken, med sin fremtrædende rolle i økonomi til tider kan virke hæmmende. En teori har svært ved at få fodfæste hvis ikke den kan formuleres matematisk. For eksempel det kontinuerte spænd af mulige typer af forventninger, mellem statiske forventninger og rationelle forventninger, er, efter min viden, umuligt at modellerer. Eller en model hvis agenter ikke har transitive præferencer er også svært at beskrive matematisk (og bare logisk i det hele taget).

    Når jeg skriver at "økonomer sætter stor lid til matematikken" mener jeg ikke at "økonomer sætter stor lid til økonomiske modeller formuleret med matematisk sprog og koncepter". Jeg mener at vi stoler blindt på matematiske resultater som løsninger til differentialigninger og ekstemværdisætningen. Det er måske uden for økonomers felt men jeg synes det er interessant at når man undersøger matematikkens fundament er der stadig åbne diskussioner.

    8 år siden

  • @Adam: Glad for du kunne li' den!

    8 år siden

  • @Adam

    Du misser vist min pointe. Jeg er enig i, at matematik er et spændende stykke værktøj for en økonom, men ligeledes må jeg sige, at der er mange artikler, der lader sig forblænde af den pæne matematik og ikke forholder sig til den virkelige verden. Man kan i bund og grund få modeller til at sige mange vrøvle ting, hvis man ellers gider modificere dem ordentligt. En god teori starter jo med, at man tænker sig om intuitivt - ikke at du rykker rundt på et par ligninger.

    @Christian

    Ja, men det er ikke vores opgave at gå ind i store matematiske (filosofiske) teoretiske spørgsmål. Vi er økonomer, vi beskæftiger os med mennesker, markeder og samfund og ikke med teoretisk matematik. Det er en fejlslutning at tro, at man ved alt om mennesker ved at se på matematikken. Dit eksempel med statiske og rationelle forventninger siger jo meget godt, hvorfor maetmatik er et hjælpeværktøj og ikke vores primære udgangspunkt (intuitionen)

    Så til begge vil jeg gerne fastholde den oprindelige pointer: Matematik er fint, men vi skal ikke tro, at økonomi og matematik er to sider af samme sag.

    8 år siden

  • @ Mikael: Som jeg prøvede at skrive er jeg helt enig med dig i at økonomiens genstandsfelt ikke er matematik men noget helt andet. Nogen hævder at økonomi ikke har noget genstandsfelt og bare er en fællesbetegnelse for en samling videnskabelige metoder. Jeg synes det er svært at definerer præcist hvad økonomi er for en videnskab. Menneskelig adfærd på markeder og i samfundet bliver jo studeret af mange videnskaber (psykologi, sociologi, antropologi, politologi...). Hvordan adskiller økonomi sig?

    Jeg mener på ingen måde matematik og økonomi er to sider af samme sag. Men om man vil det eller ej er matematik den altoverskyggende del af vores metode. Min tanke med artiklen var bare at gøre opmærksom på at selv i matematik, som på overfladen virker helt fri for sandhedstvivl, er der diskussioner om videnskabens fundament og sandhedsværdi. Jeg blev selv overrasket da jeg undersøgte sagen og synes det var meget interresant. Om dette giver anledning til at være mere eller mindre påpaselig overfor andre videnskaber ved jeg ikke. Man kan argumenterer for begge. Synes bare det var interresant.

    8 år siden

  • Jeg synes skam også, at dine artikler har været interessante, når matematik nu en gang er en fantastisk disciplin :)

    8 år siden

  • Mads Stolberg-Larsen: Props for en god artikelserie!

    8 år siden

  • Tak Mads! :-)

    8 år siden

  • Anders Munk-Nielsen: Spændende artikel, Christian, og endnu mere spændende diskussion i kommentarerne! Jeg er fuldstændig enig i, at man ikke skal lade sig narre af, at matematikken på overfladen virker uimødekommende og indiskutabel, men jeg ser snarere på matematikken som et sprog en som et værktøj med sandhed i sig selv. Efter min mening kan den samme ide udtrykkes både med og uden matematik, men hvor den typisk er væsentligt sværere at udtrykke i matematik. Til gengæld sikrer man sig mod intern inkonsistens i sin teori når man udtrykker den i matematisk form. For at tage eksemplet med intransitive præferencer op -- denne type præferencer forudsætter, at der er noget tilfældigt, uden for agentens handlefelt, som påvirker agentens valg (fx indskydelser) således at agenten ikke ville have foretaget det samme valg igen i en identisk situation. Man kan sagtens give plads til denne form for impulsivitet i form af stokastisk modellering af præferencer -- så er det bare den deterministiske del af præferencerne, der udviser transitivitet, men at selve valget kan afvige. Alternativt kunne man vel sige, at hvis man kunne lave et kort over samtlige sansepåvirkninger og elektriske strømme i en agents hjerne i det sekund en handling skulle tages, så ville valget være deterministisk. På den måde er ingen situationer nogensinde ens, men agenten opfylder i princippet transitivitet.

    Men efter min overbevisning, hvad vil man så med en teori, der forkaster i det hele taget at modellere systematik? Er det så overhovedet en model?

    8 år siden

  • NB: Rigtig spændende diskussion. Anders: Bruger vi ikke netop matematik, fordi det er nemmere at udtrykke de komplekse sammenhænge vi interessere os for i økonomi matematisk?

    8 år siden

  • Anders: NB, tjo det kan man sige, men omvendt er der jo også situationer, hvor matematikken kommer til kort simpelthen fordi den ikke er kommet langt nok. Fx var man i lang tid tvunget til at antage meget specifikke fejlledsfordelinger simpelthen fordi man ellers ikke kunne integrere skidtet ud (fx McFadden's Extreme Value antagelser og deraf afledte litteratur). På den måde fører matematikken også lidt hånden på økonomen og lukker af for bestemte modeller. Men for størstedelen af al økonomisk tænkning er jeg enig, der giver matematikken en mulighed for at udtrykke noget, som ellers ville blive flyvsk på en sammenhængende måde. Min pointe er bare, at fordi matematikken har styret tænkningen i en bestemt retning så bør man mere se den som en udtryksform end som en klarere måde at tale på. Lidt ligesom man kan sige, at det måske i det hele taget er lidt gammeldags at akademiske tanker altid bliver udtrykt i artikelform -- hvorfor bliver der ikke taget mere kreative former for vidensdeling mere aktivt i brug? Der er noget kulturelt og holdningsmæssigt over det...

    8 år siden

  • @ Anders: Jeg har tænkt lidt over det.... tror der er to forskellige ting jeg prøver at sige. Efter lidt grublen viser det sig også at jeg både er enig og uenig med samme udsagn... jeg er lider nok ogsaa af en eller anden form for (svært modellerbar) irrationalitet. Damn it!

    Jeg vil gerne tage udgangspunkt i dit udsagn: "Efter min mening kan den samme ide udtrykkes både med og uden matematik, men hvor den typisk er væsentligt sværere at udtrykke i matematik. Til gengæld sikrer man sig mod intern inkonsistens i sin teori når man udtrykker den i matematisk form."

    Pointe nr. 1: JA! Jeg er helt enig! Helt enig med økonomiske ideer kan udtrykkes med eller uden matematik. Når man putter den videnskabelige ide ned i matematikkassen, kan man nemt komme til at hæmme den. Til gengæld bliver den nemt kvantificerbar. (Juhu!) Også enig med at man sikre sig mod intern logisk inkosistens (hvis matematik i sig selv er konsistent)!

    Pointe nr. 2: NEJ! Jeg er helt uenig! Hvis matematik antages at være et konsistent system, så sikre en matematisk formulering af en teori, intern konsistens. Men siden Hilberts program fejlede i 1930'erne har matetikken fundament været et åbent spørgsmål. De fleste matematikkere tyger til et aksiomatisk system ved navn ZFC hvis konsistens de vælger at tro på, men konsistensen kan ikke bevises. Selv om diskutioner om matematikkens fundament er blevet overdraget til filosofer og matematikkere arbejder ufortrødent videre, synes jeg det er ejendommeligt at så sikker en videnskab står uden noget fundament!

    Spørgsmålet om fundament eller ikke-fundament i matematik kan vi måske ikke gøre så meget ved (slet ikke som økonomer). Jeg vil bare pointerer, som du også nævner, at matematik nogen gange hæmmer mere end det gavner og ikke er den hellige gral.

    Kunne være ret interresant at finde ud af hvor mange steder matematikken kommer til kort i økonomi...

    8 år siden

  • Deler også dit syn på det kulturelle i brug af matematik... vi er nok hæmmet af vores naturvidenskabelige storebror fysikken...

    8 år siden

  • @ Christian: Jeg er i det store hele enig med dig, jeg tror bare jeg tillægger Göedel's arbejde mindre betydning end dig. Egentlig talt viste han jo kun, at man ikke kan bevise systemets konsistens inden for systemet selv... derfor skulle man stadig godt kunne modbevise det, hvis man stød på noget skidt, og selv 70 år senere er det ikke lykkedes. Jeg tror måske ikke så meget jeg tænker, at man kommer til at opdage, at matematik er en forkert måde at gå til videnskab på, jeg tror bare, man vil opdage, at en eller anden absurd afart af operatoralgebra på fuldstændigt utænkeligt abstrakte mængder ikke er hensigtsmæssig, men al det matematik, som økonomer på nogen som helst måde skulle kunne komme i nærheden, tror jeg er nogenlunde sikkert forvarret...

    8 år siden

  • En lille pointe: Gödel beviste ikke, at der ikke findes axiomatiske systemer der kan bevise deres egen konsistens, men derimod at (1) der ikke findes nogen algoritme over axiomer der kan bevise alle sande teoremer over de naturlige tal, og (2) hvis et axiomatisk system er stærkt nok til at generere de naturlige tal, kan det ikke bevise sin egen eksistens.

    Hvorfor er den distinktion interessant? Det er den netop fordi man kunne forestille sig et svagere system end de naturlige tal - fx et system der kun havde ordinalitet - som kan vises at være konsistent. For en økonom er det naturligvis interessant, fordi en del modellering af menneskelig adfærd og præferencer passer bedst ind i en ordinal metrik.

    Ellers tak for nogle gode artikler.

    7 år siden

  • @Andreas Glad for du synes om artiklerne. I artiklen henviser jeg til Gödels anden ufuldstændighedssætning, og du har ret i jeg ikke skildrer den særlig præcist.

    Min pointe er, at hvis en teori overholder Gödels hypotese, dvs. den indeholder arimetik og sandhedsværdien af sætningerne i teoriren kan checkes algoritmisk, så kan man ikke afgøre om teorien er konsistent ved brug af teoriens egne aksiomer. Tror også det er din pointe under punkt 2. Man kan dog til tider godt bevise disse typer teoriers konsistens indenfor svagere teorier som bygger flere eller andre aksiomer. Hvorfor jeg synes det er interessant, er fordi det efterlader konsistens-problemet af matematisk teori til tro. Man skal altså tilslutte sig et sæt aksiomer uden at være sikker på den teori de producerer er konsistent. Hvis man så vil vise konsistens, må man tilslutte sig et andet sæt aksiomer. Det er interessant at matematikkens fundament (som jeg forstår det) i høj grad bygger på en blind tro på aksiomerne.

    Interessant nok hvis præferenceteori er selvverificerende... det kunne måske være et plus i bogen for økonomiske videnskab i en svær tid :-)

    7 år siden

Partnervirksomheder

Stort tak til alle virksomheder i ALT ANDET LIGEs partnerprogram. Hør mere om programmet, skriv til partner@altandetlige.dk