Handler det kun om pengene?

En af de klassiske antagelser i økonomiske modeller er, at virksomheder forsøger at maksimere deres profit, og at arbejdere forsøger at maksimere deres nyttefunktioner, som typisk er stigende i løn og aftagende i arbejdsindsats. Som mange af de (stakkels) studerende, der har overlevet at være til timer, hvor jeg har undervist, vil vide, så mener jeg personligt, at ovenstående er et solidt udgangspunkt for at forstå, hvad der motiverer henholdsvis virksomheder og arbejdere i den virkelige verden. Det er oplagt tilfældet, at den virkelige verden er mere kompleks, men som udgangspunkt er det ikke helt skævt, at virksomheder vil lave profit, mens arbejdere vil hæve den størst mulige løn for en given arbejdsindsats.

En af de ting, der altid har fascineret mig, og som ikke er med i de klassiske modeller, er idéen om prestige. Hvorfor er nogle jobs, for en given løn, langt mere prestigefyldte end andre? Når man tænker over det, så er det en sunspot ligevægt. Et job er primært prestigefyldt fordi tilstrækkeligt mange er enige om, at det er prestigefyldt.

Hvis tilstrækkeligt mange mener, at det er mere prestigefyldt at arbejde for firma A end firma B, så vil firma A kunne tiltrække de mest kvalificerede arbejdere, og dermed bliver en ansættelse hos firma A rent faktisk et signal om, at man er blandt de bedste arbejdere på markedet. Der er med andre ord tale om en selvopfyldende opfattelse.

I ekstreme tilfælde, hvor arbejdere opnår tilstrækkelig stor nytte af at blive opfattet som værende blandt de bedste på markedet, så kan firma A tiltrække de bedste arbejdere – selv om firma B tilbyder en højere løn.

Sammen med ingen ringere end min gode ven Sune* har jeg igennem de sidste par år haft et hobbyprojekt, hvor vi har undersøgt, hvorvidt produktive arbejdere er villige til at acceptere lavere lønninger, hvis de til gengæld kan signalere til deres omgivelser, at de er produktive. Mens vi venter på en ordentlig omgang peer-review, så synes jeg egentlig godt, at vi kan dele resultatet med altandetlige.

Vores pointe er, at arbejdere opnår nytte både af løn (forbrug) og titler (anerkendelse). Derfor er arbejdere potentielt villige til at acceptere lavere lønninger, hvis de til gengæld får en mere prestigefyldt jobtitel**. Bemærk her, at en jobtitel igen er et sunspot – den har kun værdi fordi tilstrækkeligt mange er enige om, at den har værdi. Men hvis det rent faktisk er tilfældet, kan en titel dog godt have reel værdi, målt i kroner og ører, da den kan muliggøre, at arbejderen får et bedre betalt job i fremtiden. Han ofrer noget indkomst på kort sigt for at få en titel, der beviser, at han er produktiv, hvilket muliggør, at han får et bedre betalt job i fremtiden.

For alle, der har haft mikro C, vil den sidste del af historien (forhåbentlig!) lyde bekendt. Hvis vi udskifter titel med uddannelse, så har vi nobelprisvinderen Michael Spence’s klassiske model om job market signaling. Spence’s pointe er, at uddannelse i sig selv ikke nødvendigvis betyder noget, men da lavproduktive arbejdere har relativt store omkostninger ved at komme igennem en uddannelse, så kan firmaer bruge uddannelse til at finde ud af, hvilke arbejdere, som har høj produktivitet. Det er nemlig (potentielt) kun arbejdere med høj produktivitet, som vælger at blive uddannet***.

Som så mange gange før, så baserer mine fritidsundersøgelser sig på sport. Denne gang fik jeg overtalt Sune til, at vi skulle se på data fra finaleborde i store pokerturneringer(!). Og ja. Han var kritisk.

Udgangspunktet er, at der er et trade-off mellem at vinde penge og titler i turneringspoker. For at se, hvorfor det er tilfældet, betragter vi følgende meget simplificerede eksempel.

Der er 3 spillere tilbage i en pokerturnering. A, B og C. Både spiller A og spiller B har 1.000 chips. Spiller C har X<1.000 chips. Vinderen af turneringer får en præmie på 35, andenpladsen får 21, og tredjepladsen får 14. Lad A og B være all in, dvs. de har begge placeret alle deres 1.000 chips i puljen. C skal nu beslutte, hvad han vil gøre. Han har to muligheder. Han kan gå all in eller han kan folde. Hvis han går all in, så vinder han hånden med sandsynlighed p og vil i givet fald have 3X chips, mens vinderen af sidepuljen mellem A og B har de resterende 2.000-2X chips (vi antager, at der aldrig er en split pot). Går C all in og taber, så må han nøjes med tredjepladsen og en præmie på 14. Hvis C folder, så er han sikret en præmie på minimum 21, mens han også beholder sine X chips og spiller om førstepladsen mod vinderen af hånden mellem A og B, der i dette tilfælde har 2.000 chips. Antag at sandsynligheden for, at en spiller vinder turneringen (efter C’s beslutning) er lig procentdelen af chips som spilleren har. Det følger nu, at hvis C maksimerer sin forventede pengepræmie, så går han all in hvis og kun hvis

Det er meget intuitivt, at hvis X er lille, så ved C, at han sjældent vinder turneringen, hvorfor han folder selv for store værdier af p, idet han reelt spiller for at få andenpladsen, hvilket han er sikret, hvis han bare folder. Det er derfor ret oplagt, at når X går mod 0, så går det nødvendige p mod 1.

Bemærk at hvis C spiller for at vinde turneringen, og er ligeglad med de sekundære pengepræmier, så går han all in for p>1/3. Uafhængigt af X.

Spillere kan derfor have forskellige optimale beslutninger afhængigt af, hvor vigtige pengepræmierne er i forhold til titlen som turneringsvinder. Nogle spillere vil ofre sandsynligheden for en turneringssejr for at rykke op i pengepræmierne. Andre spillere vil være villige til at ofre en del af deres forventede pengepræmie for at øge sandsynligheden for at vinde turneringen.

Som økonom kan man sagtens forestille sig, at pokerspillere agerer for at maksimere deres forventede pengepræmier. Men hvorfor ville pokerspillere ofre forventede pengepræmier for at forsøge at vinde turneringer?
Som forklaret ovenfor handler det om at signalere til omverdenen, at man er en dygtig spiller. I pokermiljøet er der en ligevægt, hvor turneringssejre tillægges (for?) høj værdi, når kvaliteten af en spiller bedømmes. Derfor er pokerspillere villige til at spille aggressivt og risikobetonet på finaleborde, idet en sejr er mere værd end blot førstepræmien. Den engelske pokerspiller Neil Channing udtaler i dette interview følgende om de armbånd, der uddeles til vindere af pokerturneringer ved World Series of Poker (WSOP):

”Say I won $400K and you asked me what I would prefer: $450K and no bracelet, or $400K and a bracelet – I guess I’d take the bracelet”

Det er naturligvis ikke selve det fysiske armbånd, vinderne tildeles, der betyder noget for Channing. Det er hvad det repræsenterer: Titlen som vinder af en turnering ved WSOP.

En turneringssejr vil være ensbetydende med anerkendelse fra andre pokerspillere, fra fans og fra medier. Af åbenlyse årsager har jeg aldrig oplevet det selv, men jeg forestiller mig, at det føles ret fedt, når alle ens kollegaer synes, at man er virkelig dygtig. Og det må da også være meget sjovt at være i samtlige medier, der beskæftiger sig med ens profession, for at svare på spørgsmål om, hvorfor man er så meget bedre end alle andre.

Udover den nytte turneringsvinderen opnår af at blive berømt og anerkendt i pokerverdenen, kan mediedækningen også tiltrække potentielle sponsorer, og dermed en øget fremtidig indtjening.

Hvis spillere motiveres af anerkendelse og berømmelse, eller hvis en førsteplads tiltrækker sponsorer, så vil pokerspillere på finaleborde altså opføre sig som om, at førstepræmien er større end hvad den rent faktisk er.

Ovenstående er meget fint. Men vores hypotese er, at det er produktive arbejdere, dvs. de dygtigste pokerspillere, som er villige til at ofre en del af deres forventede gevinst i jagten på respekt, berømmelse og en potentiel sponsor. Hvorfor forventer vi, at de dygtigste spillere adskiller sig fra de øvrige?

Argumentet er ret simpelt. Vi tror, at mindre gode spillere vil have en større omkostning (være nødt til at ofre en større forventet gevinst) ved at spille aggressivt og risikabelt end gode spillere. Derfor vil det ikke være optimalt for mindre gode spillere at efterligne gode spilleres strategi, og vi har dermed hvad vi i spilteori kalder en separating equilibrium, hvor en persons ageren afslører hans type.

Vi kunne i øvrigt tilføje, at mindre gode spillere måske får mindre ud af en turneringssejr end gode (allerede kendte) spillere. Det ville f.eks. være tilfældet, hvis sammenhængen mellem turneringssejre og anerkendelse i pokermiljøet er konveks. Eller hvis sandsynligheden for at blive tilbudt en sponsorkontrakt er en konveks funktion af tidligere turneringssejre. Begge argumenter virker i øvrigt ganske plausible.

Der er, som altid (...), en række problemer med vores argument. Måske spiller gode spillere udelukkende for at vinde turneringer fordi de har væddet med andre om, hvorvidt de vinder****. Det er også muligt, at spillere, som er sponsorerede, hvilket ofte er gode spillere, får betydelige bonusser, hvis de vinder turneringer. Endvidere er det muligt, at spilleren ikke beholder hele sin pengepræmie selv, men deler den med en investor, som har betalt turneringsgebyret. Hvis gode spillere er mere tilbøjelige til at indgå sådanne aftaler med investorer, kan det være et problem for vores fortolkning. Vi kan ikke kontrollere for disse potentielle effekter, idet vi ikke har data for dem. Vores opfattelse er dog, at det er relativt få spillere, som påvirkes af disse effekter, og at problemet derfor er begrænset.

Hvordan tester vi vores hypotese om, at gode pokerspillere ofrer forventede præmiepenge for at øge sandsynligheden for, at de kan vinde turneringer og dermed signalere til deres omgivelser, herunder både fans, kollegaer og potentielle sponsorer, at de er dygtige spillere?

Vi samler 3.177 spillerobservationer for 379 forskellige finaleborde ved WSOP i perioden fra 2006-2012. Vi har data for, hvor mange chips hver spiller begynder finalebordet med, og vi ved, hvor mange penge de hver især ender med at vinde samt hvilken placering de opnår. På baggrund af disse oplysninger definerer vi en række kontrolvariable for spillerens udgangspunkt samt fordelingen af chips på finalebordet.

Vi definerer desuden en dummy-variabel, Drank_ki, for hver spillerobservation på baggrund af pokermagasinerne Bluff og Cardplayer. Hvert magasin har en algoritme, som bruger resultater fra sidste års pokerturneringer til at afgøre, hvilke spillere, der klarede sig bedst. Vi følger tidligere undersøgelser og definerer, at en spiller, der er rangeret i top 250 på en eller begge af disse ranglister i år t er en ’god’ spiller i år t+1.

Dette er åbenlyst ikke et perfekt mål for spillerens evner, men det vil vise sig at være en fornuftig proxy, om end vi naturligvis finder en absolut nedre grænse for vigtigheden af spillerens evner i poker. Det er fx problematisk, at ranglisterne ikke tager højde for spillernes profitabilitet, dvs. deres vundne præmiepenge minus deres betaling for at deltage i turneringer. Ranglisterne er (groft fortalt) baseret alene på gode placeringer i turneringer, hvorfor en tabende spiller, der deltager i mange turneringer, kan være højere rangeret end en profitabel spiller, som deltager i relativt få turneringer.

Uagtet det vanskelige i at måle dygtighed i turneringspoker, så kører vi en probit-regression, hvor vi undersøger, hvorvidt dygtige spillere er mere tilbøjelige til at vinde turneringer end andre spillere ved finaleborde, givet en række kontrolvariable. Resultatet af regressionen er vist i tabel 3.

Hovedpointen er blot, at estimatet på Drank_ki er positivt og signifikant forskellig fra nul efter at vi har kontrolleret for en række andre ting. Hvis vi antager, at de øvrige uafhængige variable har deres gennemsnitlige værdier, så vil en god spiller have ca. 4 procent større sandsynlighed for at vinde en given turnering end en anden spiller ved finalebordet. Dette følger ikke direkte af tabel 3, idet vi jo skal huske, at betydningen af en marginal ændring i en given uafhængig variabel for en probit-regression findes vha. kædereglen og derfor afhænger af de øvrige uafhængige variables niveauer.

Næste skridt er at køre en OLS-regression, hvor vi tester, hvorvidt dygtige spillere også vinder flere præmiepenge end andre spillere. Siden vi forventer, at dygtige spillere fokuserer på at vinde turneringer, så er vores hypotese, at effekten af at være dygtig er mindre, hvis målet er at vinde penge end hvis målet er at vinde turneringer. Resultatet af OLS-regressionen viser, at en god pokerspiller, alt andet lige, forventes at vinde 0,85 procentpoint mere af den samlede pengepræmie ved finalebordet end en anden spiller. Denne effekt er lige præcis ikke signifikant på et 5 procents niveau.

Vi konkluderer først, at årsagen til, at gode spillere vinder turneringer oftere end andre spillere ikke er, at de simpelthen spiller en mere risikobetonet strategi. Hvis det var tilfældet, så ville vi se, at gode spillere vandt færre penge end andre. Vi finder faktisk det modsatte, og kan således slå fast, at gode pokerspillere ikke blot er heldige eller villige til at påtage sig stor risiko: De er ganske enkelt bedre spillere og vinder både flere penge og flere turneringer. Vi finder med andre ord statistisk belæg for at afvise påstanden om, at poker er et tilfældigt spil.

Vi konkluderer dernæst, at gode pokerspillere bruger deres fordel til at øge sandsynligheden for, at de vinder turneringer. For den typiske deltager på et finalebord er værdien af at være en god spiller ca. 3 gange større, når målet er at vinde turneringen, end den er hvis målet er at maksimere pengepræmien. Værdien af at være en god spiller, givet udgangspunkt og målsætning, er vist i tabel 5.

Dermed er der altså, efter vores bedste overbevisning, belæg for, at gode pokerspillere er villige til at ofre præmiepenge for at blive berømte og anerkendte blandt deres kollegaer, og for at signalere deres evner til potentielle sponsorer. Det samme er ikke tilfældet for andre pokerspillere. Vi finder derfor en vaskeægte separating ligevægt på arbejdsmarkedet for pokerspillere.

Det er klart at adskillelsen af gode og mindre gode pokerspillere i ligevægt ikke er perfekt. Nogle gange vil mindre gode spillere vinde turneringer fordi de er heldige. Det er med andre ord adfærden, og ikke udfaldet, der adskiller spillertyperne.

Som et eksempel herpå kan jeg nævne, at jeg var utrolig uheldig, da jeg tilbage i mit første år på polit (må have været foråret 2007) blev slået ud af Danmarksmesterskaberne i onlinepoker for studerende. Lige inden finalebordet. Og hvis der ikke var tilfældigheder involveret, havde det udfald naturligvis været anderledes. Heldigvis var trøstepræmien en utrolig flot sweatshirt - komplet med The Voice logo! Skammen over nederlaget, kombineret med det faktum at tid på økonomistudiet og fysisk fitness er omvendt ækvivalente, har desværre forhindret mig i nogensinde at tage mit alt for stramme trofæ i brug. Turneringen blev i øvrigt afviklet samtidig med, at jeg var til en take home eksamen i erhvervsøkonomi. Det er fortsat uklart for mig, hvorfor de øvrige medlemmer af min eksamensgruppe ikke forstod, at jeg ikke kunne udregne den tilbagediskonterede værdi af en eller anden fiktiv investering, når jeg lige skulle til at byde tredje par for value på river mod en random LAG fyr fra jura*****.

* Sune er i øvrigt lidt af en chef. Han har fx fået sit speciale udgivet i Nationaløkonomisk Tidsskrift i 2012. Og i den forbindelse startet en debat mellem Dagbladet Børsen og handels- og investeringsministeren. Det skal ikke være nogen hemmelighed, at alle os, som var med ham på rusturen, er overraskede...

** Hvis man gerne vil vække interesse hos potentielle partnere, der fx går på CBS (...), med en fancy jobtitel, så vil jeg anbefale dette link, hvor jeg fx engang gik fra studentermedhjælper til Corporate Research Coordinator. Personligt befandt jeg mig desværre som udgangspunkt i et (globalt?) minimum, hvorfor stigningen i interesse var af anden orden.

*** Bemærk at udviklingen i samfundet, som går mod at stadig flere læser lange, videregående uddannelser, potentielt underminerer signalværdien heri. Det kan medføre, at dygtige studerende må tage yderligere midler i brug for troværdigt at signalere deres evner til fremtidige arbejdsgivere. Oplagte muligheder er ekstrem fokus på karakterer og krævende, prestigefyldte studiejobs. Udviklingen på gymnasierne, hvor karaktergennemsnittene efterhånden ikke længere betyder det store, idet mange opnår topkarakter, vil snart nå ind på universiteterne, hvilket blot flytter konkurrencen om de efterfølgende jobs et led længere ud. Denne udvikling bliver understøttet af forskellige tiltag på universiteterne, herunder at der udbydes flere fag på sommerskoler, hvor sværhedsgraden typisk er lavere end normalt. Jeg skal spare begge de læsere (hej mor og far!), der har læst hele dette indlæg, for mine holdninger til universiteternes incitamenter, men der er jo en grund til, at tingene er som de er. Penge. Min pointe er blot, at de dygtigste personer altid vil stræbe efter at skille sig ud. Når vi som samfund gør det billigere for de mindre dygtige at (på overfladen) efterligne dem, så påfører vi samtidig de dygtigste personer yderligere omkostninger i deres bestræbelser. Men det er der aldrig nogen, som nævner. Om 10-20 år tror jeg, at studiejobbet er vigtigere end studiet, da mange alligevel ender med at blive kandidat med ganske gode karakterer. Hvilket fører til politisk indgreb for at forhindre, at de studerende arbejder for meget til en for lav løn. Resultatet? Så må de dygtige studerende (igen) finde på en ny måde at adskille sig på. F.eks. ved at læse en bachelor på både polit og jura samtidig. Jeg ved det. Hvem gider dog læse jura? Og det er netop pointen...

**** Til de uindviede kan jeg nævne, at den typiske pokerspiller godt kan lide at vædde om forskellige ting. Og hvis dygtige (rigere) spillere har en tendens til at vædde om større beløb, så kunne dette potentielt være et problem for vores fortolkning.

***** Jeg merger gerne mine ranges. Ogsånår jeg spillerpoker.